Eino Kaila till G.H. von Wright 26/5 1957

1 jag skall nu ordentligt tacka dig för den älskvärda dedikationen. Du kan tänka dig att jag med ett visst intresse studerat de nyskrivna ställena i boken. Dina två monografier bildar nu en helhet sålunda, att ”The Logical Problem” är en någorlunda lättfattlig inledning till ”Treatise” (som nog är ganska tungläst). Jag ser att du helt och hållet har lämnat bort behandlingen av ”den enklaste kurvan”. Det är synd att jag inte här har den första upplagan och inte heller de anteckningar, som jag i tiden gjorde i anledning av Broads kritik. Jag minns nu endast, att jag inte var alldeles ense med Broad. Kan du låta bli att engång på nytt ta upp detta problemkomplex (alltså den ”enklaste kurvan” och allt som därmed sammanhänger)? Enligt min smak är dessa svåra frågor de intressantaste inom hela sannolikhetsläran. Min ”intuition” säger mig, att dessa problem bör kunna lösas. Men det kan tänkas att man då måste införa en ny begreppsarsenal. För den händelse att saken intresserar dig, skall jag i det följande försöka i korthet antyda, i vilken riktning lösningen enligt min mening borde sökas. (Det följande skriver jag medveten om en viss risk, nämligen att mina antydningar, sedda ur din långt avan|2|cerade ståndpunkt, ter sig som obrukbara dilettantismer.)

2 Jag utgår då ur några från vissa förenklande förutsättningar.

3 Jag föreställer mig att en empirisk observationskurva aldrig kan vara en strängt matematisk kurva. Varje intervall av en empirisk kurva innehåller endast ett ändligt antal möjliga observationspunkter. Kurvan kan därför inte häller vara analytisk i matematisk mening, utan ”quasi-analytisk”. Därmed menar jag bl.a. följande. Även en icke-algebraisk matematisk kurva kan mit beliebiger Genauigkeit approximeras genom en polynom (se framställningen till ex. hos Lindelöf). Denna approximering räcker till för alla empiriska kurvor, vilket har viktiga konsekvenser. Varje empirisk (”quasi-analytisk”) kurva är bestämd genom ett visst antal punkter, som jag kallar determinerande eller d-punkter. Om antalet av dessa punkter är m och antalet av alla observationspunkter (”o-punkter”) är n, så anger förhållandet m/n den ”relativa enkelheten” av kurvan, alltså av hypotesen i fråga. Det är av stor betydelse, att när man talar om den ”enklaste kurvan”, man alltid menar denna ”relativa enkelhet” (därmed elimineras bl.a. en invändning som Hermann Weyl gör). I ”absolut” mening får kurvan vara hur komplicerad som helst; om m och n ökas i samma proportion, är allt i ordning.

4 Emellertid räcker inte detta till för att bestämma ”enkelheten”. Det är ”intuitivt” klart att en cirkel är en enklare kurva än en hyperbel, men cirkelns ekvation skiljer sig från ekvationen för en lik|3|sidig hyperbel endast därigenom, att den senare har ett minus-tecken, där den förra har ett plus-tecken. För att definitionen av den relativa enkelheten hos en empirisk kurva skall vara tillfredsställande, måste ännu något komma till – vad detta är, vet jag inte, men jag är övertygad om, att detta problem kan lösas.

5 Sedan den andra basala förutsättningen. Jag kallar den ”stickprovsprincipen” och ger först ett exempel. Föreställ dig att en blind människa besöker en modern self-service-butik och genom stickprov skaffar sig en föreställning om vilka slags varor förekommer i butiken. Han generaliserar alltså sina ”observationer”. Vilka förutsättningar gör han då? Den kanske viktigaste är denna: För varje observation, varje o-punkt, består en ”slumpmässig intervall” i den meningen, att en dylik o-punkts rumoriginal: run-tids-koordinater inte är på förhand fastslagna; vilka precisa koordinater ett ”stickprov” har, beror på ”slumpen”, d.v.s. för varje o-punkt består ett visst område, en intervall av ”likvärda möjligheter”. Nu påstår jag: alla generaliserbara observationer är dylika ”stickprov” (förlåt att skrivmaskinen krånglar). En invändning: I ett fysikaliskt experiment i ett laboratorium kan det just komma an på precisa rum-tids-koordinater. Ja, naturligtvis! Men när man generaliserar experimentresultaten, så förutsätter man, att själva laboratoriets rum-tids-koordinater åtminstone inom vissa gränser kan vara vilka som helst; alltså består även då|4| en viss ”koincidensintervall”, så att observationerna får karaktären av ”stickprov”.

6 Nu tillbaka till den ”enklaste” kurvan, som löper genom ett antal n av o-punkter. För varje dylik punkt består en koincidensintervall. Låt oss schematiskt anta, att dessa intervaller alla innehåller ungefär samma antal q observabla ”lika möjliga” punkter, Kurvan antas ha en stor relativ enkelhet, alltså m < < n. d-punkterna är sålunda en liten delmängd av o-punkterna och kan väljas bland de senare hur som helst. Sannolikheten för att kurvan endast på grund av ”slump” löper genom en viss punkt inom en viss intervall är 1/q (nämligen genom en sådan punkt, som ligger på den enklaste kurvan). Antalet av de intervaller, som inte innehåller en d-punkt, må vara r. Vilken är sannolikheten för, att kurvan endast på grund av ”slump” löper genom vissa bestämda punkter inom alla koincidensintervaller? Den är 1/q:r. (”Alla koincidensintervaller” betyder här de intervaller, som inte innehåller en d-punkt.) Eftersom r = n−m, så ökas kurvans sannolikhet mycket snabbt, när dess relativa enkelhet ökas och omvänt om m = n, så har kurvan ingen sannolikhet alls.

7 Kanske dessa antydningar är tillräckliga, för att du skall förstå, i vilken riktning lösningen av den enklaste kurvans problem|5| enligt min mening borde sökas. Det vore mycket att tillägga. Bl.a. tycker jag inte mera riktigt om hela talet om en ”induktiv logik”. Man talar ju inte heller om till ex. en ”geometrisk logik”. Du tycks vara av annan åsikt, men enligt min mening är den abstrakta sannolikhetsteorien jämförbar med den axiomatiska geometrien. Den tillämpade ”empiriska” sannolikhetsteorien består av (statistiska) deduktioner ur förutsättningar, som ant påstår något bestämt om ”verklighetens”, resp. ”erfarenhetens” struktur. Det kanske viktigaste draget hos denna struktur är det, som gör att generaliserbara observationer förutsättes ha har karaktären av ”stickprov”.

8 Jag hoppas att du skall ha något nöje av dessa betraktelser (som måhända är bara barnsligheter).

9 Jag har levat här, för det mesta i absolut ensamhet, sedan början av april. Jag har arbetat lite, men ”lekt” mycket, d.v.s. bråkat med mitt nya växthus, där jag har tomater, gurkor och meloner. De växte härligt under den soliga varma tiden i början av denna månad, men nu är det kritiskt, när temperaturen varje natt sjunker nära noll, och mina engelska kaminer funktionerar otillfredsställande (det var en ganska obehaglig överraskning, att man i Finland tydligen inte får den renade paraffinolja, som behövs för dessa kaminer. Men dylika missräkningar hör till saken, och hör hela hobbyt bara mera spännande). Kroppen värker av ansträngning, förkylning och reumatism, men dylika|6| obehag har hittillsoriginal: hittils varit den oundvikliga vägen till desto bättre hälsa.

10 Nästa onsdag tycks filos. föreningen sammanträda. Om du händelsevis går upp och, så säg åt Ketonen, att jag trots mitt löfte inte kan komma, eftersom jag varje natt måste vakta på de förb. kaminerna (som alltid hotar att slockna). Alltsåoriginal: Allstå om vi inte mera råkas före sommaren, så önskar jag dig, Elisabeth och hela din familj en lycklig semester. Måtte vi alla bara få sol tillräckligt. Sol, sol – det kommer det an på!