Två kritiker: Brouwer och Wittgenstein

1 I detta kapitel skall jag beröra två insatser i modern logik, som stå något på sidan om huvudstråket och som, i vissa avseenden, kunna hållas för motströmmar. De två insatserna påminna f.ö. om varandra också i andra än dessa negativa drag.

2 I likhet med Hilbert är holländaren L. E. J. Brouwer (f. 1881) en av den moderna matematikens stora gestalter. Hans främsta insats som ren matematiker är väl i topologien, – en matematisk disciplin till vilken Leibniz original: (se ovan s. 44 f.) lade grunden men som förblev outvecklad till början av vårt sekel.

3 År 1907 publicerade Brouwer en avhandling med namnet Over de Grondslagen der Wiskunde (Om matematikens grunder). Här framlägger han den åskådning, som gjort hans berömmelse som logiker och filosof. Hans ståndpunkt har inte nämnvärt förändrats med åren. I talrika senare skrifter har han dels visat, hur hans åskådning skall tillämpas inom olika grenar av matematiken, dels kritiserat andra uppfattningar om matematikens grunder. Särskilt häftig har Brouwers polemik varit mot Hilbert och ”formalisterna”.

4 Brouwer lär, att matematiken är den exakta delen av mänskligt tänkande. Åsikten påminner om Hilberts uttalande om den axiomatiska metoden, som förvandlar all teoretisk vetenskap till matematik. original: (Jmf. ovan s. 76.) Emellertid ville Hilbert göra matematiken själv till föremål för exakt studium (i meta-matematiken). Detta är enligt Brouwer en svår inkonsekvens.

5 Emedan matematiken är det exakta tänkandet, kan den inte ”grundas” på något annat vetande. Brouwer vänder sig mot Freges och Russells idé om logiken som matematikens grund. Förhållandet mellan logik och matematik är snarast det omvända mot vad Frege och Russell tänkte sig. Logiskt tänkande är ett slags tillämpad|88| matematik, menar Brouwer. Det är inte logikens lagar som bestämma, vad som är riktigt eller tillåtligt i matematiken. Utan det är de matematiska metodernas erkända riktighet, som bestämmer, vad som skall anses logiskt. När logiken bedrivs som självständig vetenskap, föreligger fara att den skall råka i konflikt med sunda förnuftet. Tror man dessutom, att logikens lagar äro rättesnören för matematiskt tänkande, kan följden bli att matematiken förlorar sig i fantasterier. Enligt Brouwer har vardera olyckan inträffat.

6 Den matematiska kunskapens ”grund” eller ”källa” är en intuition. Brouwers och hans anhängares riktning i matematikens filosofi kallas även intuitionism. original: (Ovan s. 63.)

7 Den djupaste matematiska intuitionen är våra erfarenheters uppdelning i närvarande och förflutna. Man kan säga, att tidsmedvetandet är matematikens urgrund. ”Tidens ström”, delad i upprepade tvåheter av närvarande och förflutet, ger upphov till de hela talens räcka. För Brouwer, liksom för Kroneckeroriginal: (jmf. ovan s. 61), äro de hela talen utgångspunkter för allt vidare skapande i matematiken.

8 För den matematiska intuitionen kunna inga gränser utstakas på förhand. Matematiken är ständig nyskapelse. Det finns ingen slutgiltig samling av regler, som allt matematiskt tänkande måste följa. Idén om matematiken såsom slutet system med påvisbara fullständighetsegenskaper – på sätt och vis Hilberts stora tanke – är enligt Brouwer i grund felaktig.

9 Hos Brouwer spelar den matematiska konstruktionens begrepp en roll, som påminner om motsägelsefrihetens hos Hilbert. Vi sadeoriginal: (ovan s. 78 f.), att frågor om existens i matematiken för Hilbert voro problem om motsägelsefrihet. Hos Brouwer äro de frågor om konstruerbarhet. Urtypen för en matematisk konstruktion är att påvisa (konstruera) ett tal med sådana och sådana egenskaper.

10 Brouwers uppfattning om existens och konstruerbarhet i matematiken är nära förbunden med hans berömda kritik av en av logikens ”klassiska” grundsatser: lagen om det uteslutna tredje. original: (Jmf. ovan s. 70)

11 Lagen om det uteslutna tredje har formulerats på olika sätt. Ett sätt att uttrycka den är i form av ett samband mellan be|89|greppen ”alla” och ”någon”. Dessa begrepp kallas kvantifikatorer. original: (Jmf. nedan s. 134.) Man säger så här: låt P vara en godtycklig egenskap. Antingen sakna alla ting egenskapen P eller också har något ting egenskapen P, en tredje möjlighet finns ej. I stället för ”alla ting sakna” kan man säga ”inget ting har” och i stället för ”något ting har” kan man säga ”det finns ett ting, som har”. Begreppet ”alla” kallas även universalkvantifikatorn och begreppet ”något” eller ”det finns” existenskvantifikatorn.1Det förekommer mig, att kärnan i Brouwers kritik av den s.k. lagen om det uteslutna tredje är en kritik av en traditionell uppfattning om det inbördes förhållandet mellan universal- och existenskvantifikatorn. Sålunda uppfattad, berör Brouwers kritik inte lagen i den mera allmänna formulering som säger, att varje (meningsfullt) påstående är antingen sant eller falskt, en tredje möjlighet finns inte. Båda begreppen äro s.k. logiska konstanter. original: (Jmf. ovan s. 34.)

12 Antag nu, att man lyckats vederlägga satsen, att alla tal skulle sakna en viss egenskap P. Har man därmed bevisat, att det finns åtminstone ett tal, som har egenskapen P? Enligt lagen om det uteslutna tredje, när den formuleras såsom nyss skett, kan man svara jakande på frågan. Enligt Brouwer kan man inte utan vidare göra det. Endast om alternativet att alla tal sakna egenskapen P, vederlagts på så sätt att man uppvisat (konstruerat) ett tal med egenskapen P, kan man hävda det existentiella påståendet, att det finns ett tal som är P. Om däremot alternativet i fråga hade vederlagts t.ex. på så sätt, att dess antagna sanning visats motsäga redan bevisade sanningar (s.k. indirekt bevis eller reductio ad absurdum), kan det existentiella påståendet inte betraktas som bevisat.

13 Brouwer vill inte säga, att lagen om det uteslutna tredje är genomgående ogiltig. Den stämmer t.ex. för ändliga mängder. Sålunda är det säkert fallet, att antingen inget tal mellan 120 och 130 är ett primtal eller att något tal mellan 120 och 130 är ett primtal. Men tillämpad på oändliga mängder är lagen tvivelaktig. Sålunda är det, enligt Brouwer, inte klart att sifferkombinationen ”777” antingen måste förekomma någonstans i decimalutvecklingen av π eller också måste förekomma ingenstans i nämnda decimalutveckling. Ett existenspåstående i mate|90|matiken är meningslöst, om man inte har en (konstruktiv) metod att bevisa eller vederlägga detsamma.

14 Som synes, är Brouwers kritik av lagen om det uteslutna tredje tillika en kritik av indirekta bevismetoder i matematiken och en varning för att på det oändliga tillämpa den logik, som gäller i det ändligas värld.

15 Emellertid spela både indirekt bevisföring och operationer med oändliga mängder (talmängder, punktmängder) en mycket framträdande roll i matematiken. Härav följer, att Brouwers kritik av lagen om det uteslutna tredje vidgar sig till en kritisk uppgörelse med hela den matematiska vetenskapen i dess ”klassiska” gestalt.

16 Stora delar av den existerande matematiken äro intuitionistiskt ohållbara. Frågan blir, hur mycket av matematiken som kan ”räddas”, dvs. ges en form som tillfredsställer intuitionismens krav på ”konstruktiv” och ”finit” bevisföring. Brouwer har undersökt frågan i en serie betydelsefulla arbeten. I farozonen ligger bl.a. en så viktig sak som algebrans s.k. fundamentalsats (”varje algebraisk ekvation har åtminstone en rot”). Brouwers och de Loors intuitionistiska bevis för fundamentalsatsen är en vacker matematisk prestation.

17 Ehuru Brouwers grundtankar äro dunkla och oprecisa, är det fullt sakenligt att inse intuitionismen som en fortsättning i modern tid av den under 1800-talet inledda strävan efter ökad exakthet i matematisk begreppsbildning och bevisföring. Brouwer hade en föregångare i Kronecker och meningsfränder i de stora franska matematikerna Poincaré, Lebesgue och Borel. De tre sistnämnda kallas ibland ”halv-intuitionister”.

18 Brouwer talar kanske alltför hett om matematikernas ”tanklösa tillämpning” av lagen om det uteslutna tredje, om deras ”lättsinniga tillit” till den klassiska logiken och ”skrupelfria användning” av ändlighetsmatematikens logiska lagar för studiet av oändliga system. Men jag tror det är riktigt att säga, att Brouwers tendens haft ett både djuptgående och välgörande inflytande på den moderna matematiken.

19 Emedan uppgiften att intuitionistiskt ”rättfärdiga” den klassiska matematiken är både meningsfull och (åtminstone delvis) viktig, ligger det nära till hands att fråga: Vilka logiska lagar |91|följer det intuitionistiskt riktiga tänkandet? Frågan är en aning förbryllande. Enligt Brouwer kunna tankens lagar inte kodifieras. Giltigheten framgår s.a.s. från fall till fall. Men Brouwer anser också, t.ex., att lagen om det uteslutna tredje gäller för ändliga mängder och att motsägelselagen gäller både på det ändliga och det oändliga området. I sådana allmänna uttalanden ligger fröet till en intuitionistisk logik. original: (Se nästa kapitel.)

20 Till sist ville jag nämna något om Brouwers åsikter om språket. Då de äro utomordentligt dunkla, måste jag återge dem mycket ”fritt”.

21 Den matematiska sanningen, anser Brouwer, kan tänkas oberoende av språket. Men den behöver språket för att kunna meddelas. Vardagsspråket är emellertid inexakt och mångtydigt. Det ligger nära till hands att mena, att ett matematiskt symbolspråk kunde vara fullkomligt exakt. Detta är likväl en illusion. Ty symbolspråkets innebörd måste förklaras på vardagsspråket. Annars skulle vi inte lära oss begripa symbolerna. Därför är det också fel att tro, att matematikens axiomatisering i förening med meta-matematiska betraktelser om det matematiska teckenspelet vore ett absolut skydd mot motsägelser och andra tankefel i kalkylen. Detta fel begå Hilbert och formalisterna.

22 Jag tror, att Brouwers syn på förhållandet mellan språk och exakt tänkande (matematik) syftar mot något väsentligt. Och jag ville förmoda, att åtminstone en del av Brouwers intentioner i denna och andra frågor kommit till ett klarare uttryck i Wittgensteins posthuma verk (1956) om matematikens och logikens filosofi.

25 Om Wittgenstein komma vi längre fram att tala rätt mycket. Hans insats i filosofien är uppdelad på två avsnitt. Det första består av hans verk Tractatus logico-philosophicus, som utkom i början av 20-talet. Det andra hör till ett senare skede, under vilket han inte publicerade något. Vid sin död 1951 efterlämnade han ett stort antal manuskript. Ett digert urval, som behandlar logikens och matematikens filosofi, utgavs 1956.

26 Av Wittgensteins bidrag i Tractatus till logiken skall jag bara omtala det viktigaste: läran om sanningsfunktionerna och dess tillämpning på frågan om den logiska sanningens natur.

27 Vi ha redan tidigare kallat sant och falskt sanningsvärden. (Termen torde ha införts av Frege.) Vi skola nu säga, att en sats (proposition) är en sanningsfunktion av vissa satser, om dess sanningsvärde på ett entydigt sätt bestämmes av sanningsvärdena hos dessa andra satser. (Termen ”sanningsfunktion” torde ha införts av Russell.) Några enkla exempel må förtydliga saken:

28 Negationen av en sats är en sanningsfunktion av satsen själv. Jämför t.ex. satserna ”det regnar” och ”det regnar icke”. Allmänt: satserna ”x” och ”icke-x”. Om den första är sann, så är den andra falsk. Och om den första är falsk, så är den andra sann. Sambandet mellan funktionen och dess argument kan åskådliggöras i en s.k. sanningsvärdetabell:

29 Disjunktionen – både den inklusiva och den exklusiva original: (jmf. ovan s. 53 f.) – av två satser är en sanningsfunktion av satserna. Satsen ”det regnar eller blåser eller båda” är sann om av satserna ”det regnar” och ”det blåser” båda eller den ena äro sanna, och |93|falsk om båda äro falska. Satsen ”det regnar eller blåser men ej båda” åter är sann om satserna ”det regnar” och ”det blåser” ha motsatta sanningsvärden, och falsk om de ha samma sanningsvärde.

30 Läsaren kan lätt övertyga sig om att jämväl satsers konjunktion, implikation och ekvivalens original: (jmf. ovan s. 52–55) äro sanningsfunktioner. Sambanden mellan funktion och argument illustreras i nedanstående tabell.

31 Alla de logiska operationer, som undersökas i propositionslogiken, ge upphov till sanningsfunktioner, när de tillämpas på givna satser. På den grund brukar man också kalla de logiska konstanter, med vilkas tillhjälp ifrågavarande operationer uttryckas i språket, sannings-konnektiver. Det funktionella sambandets art kan städse undersökas och slutligt fastställas i en tabell. Sanningsvärdetabeller nyttjades redan av Peirce och några andra av den moderna logikens föregångare.

32 Läran om sanningsfunktionerna är av grundläggande betydelse i logiken. Wittgensteins förtjänst är att ha systematiserat denna lära och särskilt metoden att framställa sanningsfunktionerna i tabellform. En liknande systematisering genomfördes ungefär samtidigt av den amerikanska logikern Post.

33 Låt oss undersöka i en tabell följande uttryck: ”icke (x och icke-y) eller icke (y och icke-x)”. Disjunktionen vilja vi uppfatta |94|inklusivt. För ”x och icke-y” respektive ”y och icke-x” införa vi förkortningarna ”u1” respektive ”u2”. Tabellen får nu successivt följande utseende:

34 Vi se, att den undersökta funktionen har den märkliga egenskapen att vara sann för alla fördelningar av sanningsvärden på dess argument. Hur man än m.a.o. ”vrider och vänder” på argumentens sanningsvärde, är det med tillhjälp av de logiska konstanterna ”icke”, ”och”, ”eller” uppbyggda uttrycket sant. En så beskaffad sanningsfunktion kallar Wittgenstein en tautologi.

35 En mycket enkel tautologi är följande: ”x eller icke-x”. T.ex.: ”det regnar eller regnar inte”. Den är en disjunktion av två satser, av vilka den ena är den andras negation. Är alltså den första leden sann, så är den andra falsk, och tvärtom. Härav följer omedelbart, att villkoret för att disjunktionen – vare sig denna uppfattas inklusivt eller exklusivt – skall vara falsk aldrig kan uppfyllas i det föreliggande fallet. Alltså är disjunktionen under alla förhållanden sann.

36 Det är naturligtvis inte någon nyhet, att ”det regnar eller regnar inte” är en sann sats. Det är också en gammal filosofisk åsikt, att sanningen hos ett påstående av typen ”x eller icke-x” är nödvändig, logisk eller förnuftsmässig i motsats till den ”tillfälliga”, av empiriska omständigheter beroende, sanningen eller falskheten hos ett påstående i stil med ”det regnar”. Långt ifrån klart är däremot, vari den logiska sanningens egenart består. Enligt Wittgenstein, i Tractatus, är den logiska sanningen en tautologi. Svaret är kanske inte uttömmande. Men det är troligen mera klarläggande än något, som tidigare givits.

37 Vi ha tidigare sagt, att en logisk sanning är formell, oberoende av innehållet, dvs. betydelsen hos vissa variabler. original: (Ovan s. 34 f.) Uppfattningen av den logiska sanningen som tautologi ger en ny |95|innebörd åt detta. Om argumenten eller de variabla satserna i en sanningsfunktion äro sanna eller falska, beror på deras innehåll. Är nu sanningsfunktionen en tautologi, d.v.s. sann oberoende av sanningsvärdena hos sina argument, så är den också i en karaktäristisk mening oberoende av innehållet hos sina argument.

38 En tautologi säger ingenting om verkligheten. Den ”avbildar” eller ”beskriver” intet tillstånd. (Om Wittgensteins åsikt om språket som bild få vi tala senare.) Satsen ”det regnar” säger något om vädret. Likaså satsen ”det regnar inte”. Men satsen ”det regnar eller regnar inte” säger ingenting alls. Och därför har den, enligt Wittgenstein, den egenskap som, enligt Leibniz, tillkommer logiska sanningar, nämligen att stämma i alla tänkbara världar.

39 Den logiska sanningen s.a.s. köper sin allmängiltighet till priset av sin innehållslöshet.

40 Att den logiska sanningen är tautolog innebär ej, att den vore självklar eller utan värde för kunskapen. Några tautologier äro självklara. T.ex. ”x eller icke-x”. Men andra äro det inte. Eller vill läsaren påstå, att han utan vidare inser den obevekliga sanningen hos satsen ”icke (x och icke-y) eller icke (y och icke-x)”? Uppenbarligen kan det vara nyttigt att ha en metod, som gör det möjligt att avgöra (”räkna ut”), om en sats uttrycker en logisk sanning eller inte. En sådan metod äro sanningsvärdetabellerna. Den kan emellertid inte tillämpas på alla slag av logiska sanningar. Därav följer, att ej heller tautologiens idé i den enkla form, som här skildrats, kan förklara all logisk sanning. Idén kan emellertid generaliseras på ett sätt, som gör den oberoende av möjligheten att i en tabell fastställa sanningsvärdet.

41 Tautologiens begrepp ger också en ny synpunkt på det logiska (deduktiva) beviset. Vi ha tidigare, i samband med Leibniz, sagt att beviset kan betraktas som en räcka identiska transformationer. original: (Ovan s. 46 f.) Beviset utvidgar inte vårt vetande. Det bara gör sådant explicit, som redan ingår implicit i förutsättningarna.

42 Av satsen ”detta föremål är av järn” i förening med satsen ”detta föremål är icke av järn eller också leder det elektricitet” följer logiskt satsen ”detta föremål leder elektricitet”. Allmänt uttryckt: av konjunktionen av ”x” och ”icke-x eller y” följer logiskt ”y”. (Det är likgiltigt, om disjunktionen uppfattas exklusivt eller inklusivt).

43 Enligt synen på det logiska beviset som en räcka identiska transformationer skall nämnda konsekvensförhållande innebära, att den tre-ledade konjunktionen ”x och (icke-x eller y) och y” är identisk med den två-ledade konjunktionen ”x och (icke-x eller y)”. Ty ”y” som ingår explicit i den första konjunktionen bör ingå implicit i den andra. Men vad betyder denna identitet? Hur skall den fastställas?

44 Här hjälper oss tautologiens begrepp. Läsaren må i en sanningsvärdetabell undersöka påståendet, att den tre- och den tvåledade konjunktionen ovan ha samma sanningsvärde. Detta påstående är de två konjunktionernas s.k. materiella ekvivalens. original: (Se ovan s. 54.) Undersökningen i tabellen visar, att påståendet är en tautologi, alltså sant oberoende av de två konjunktionernas sanningsvärden. Dessa äro i sin tur funktioner av sanningsvärdena hos de två satserna ”x” och ”y”.

45 Undersökningen utföres lämpligen sålunda, att man gör en tabell för de två konjunktionerna ”x och (icke-x eller y)” samt ”x och (icke-x eller y) och y” skilt för sig. Man finner då, att de två konjunktionerna äro samma funktioner av ”x” och ”y”. Låt oss kalla den första konjunktionen ”u1” och den andra ”u2”. Sedan bilda vi satsen ”både u1 och u2 eller varken u1 eller u2” och göra en tabell för densamma utgående från de redan fastställda fördelningarna av sanningsvärden för ”u1” och ”u2”. Resultatet blir en tautologi. Tabellen – något sammandragen – synes nedan.

46 På basen av nyss undersökta fall kan man uppställa följande allmänna regel: En sats s2 följer logiskt av en sats s1, om och endast om det är en tautologi att konjunktionen av s1 och s2 har samma sanningsvärde som s2 allena. Ett logiskt bevis, kunde man |97|också säga, är en räcka tautologa transformationer. (Om inskränkningar i regelns allmängiltighet skola vi inte bekymra oss här.)

47 Den del av Wittgensteins insats i logiken, som vi hittills omtalat, går inte ”motströms” utan ”medströms”. Läran om sanningsfunktionerna, metoden med sanningsvärdetabeller och tautologiens begrepp ingå som viktiga beståndsdelar i den moderna logikens ”system”.

48 Vi ha tidigare omtalat Freges och Russells stora tanke, att matematikens sanningar kunna härledas ur logikens. Om den logisticistiska tesen är riktig och om det vidare är riktigt att logikens sanningar äro tautologier och logisk bevisföring en räcka tautologa transformationer, så följer att också matematikens sanningar äro tautologier.

49 Det måste kraftigt betonas (emedan uppgifter i motsatt riktning ibland givits), att Wittgenstein redan i Tractatus tar avstånd från nämnda tillämpning av tautologiens begrepp. För det första avvisar han Freges och Russells tes, – närmast på den grund att han inte kan godkänna definitionen av talen som klasser (av klasser). Och för det andra avvisar han åsikten att matematikens sanningar vore, liksom logikens, tautologier.

50 För Wittgensteins syn i Tractatus på den matematiska sanningens natur skall jag inte här försöka redogöra. Hans åskådning kan sägas föregripa den kritik, som han senare riktade mot många i den moderna logiken och matematikens grundforskning omhuldade föreställningar. I denna kritik har Wittgensteins insats något väsentligt gemensamt med Brouwers.

51 Från 1929 till sin död 1951 skrev Wittgenstein åtskilligt till logikens och matematikens filosofi. Några bidrag till den rena logiken, i stil med läran om sanningsfunktionerna i Tractatus, yttrade han emellertid inte. Det är troligen riktigt att säga, att han betraktade den formella logiken såsom rätt ointressant i sig själv men samtidigt såsom farlig, emedan den närde allsköns filosofiska vanföreställningar. En del av dessa vanföreställningar gälla matematikens natur. Att gå till rätta med dem är den |98|kanske viktigaste uppgiften i hans posthuma arbete Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik.

52 Detta verk står oss ännu alltför nära i tiden för att tillåta en värdesättning av dess betydelse. Jag skall inte försöka utförligt redogöra för någon enda tankegång i boken. Jag skall endast antyda några ledande temata.

53 Ett tema är kritiken av åsikten, att matematiken skulle behöva en ”grundläggning” och särskilt av uppfattningen, att logiken vore matematikens grund. De naturliga talens aritmetik, t.ex., står på egna ben. Detta ser man, om man sätter i fråga tillförlitligheten hos bevis för aritmetiska satser i Russells logik. Det hör till saken, att sådana bevis äro mycket svåra att överblicka, så snart det är fråga om andra än helt små tal såsom 1, 2, 3. Skall jag i klasslogiken bevisa, t.ex., att 237 plus 458 är 695, måste jag handskas med så invecklade uttryck, att bevisets egen riktighet kan kontrolleras bara med tillhjälp av additionens på förhand bekanta resultat. Om beviset gav till resultat 694, skulle jag tolka detta som tecken på ett fel i det logistiska beviset och inte som tecken på ett fel i additionen 237 + 458 = 695.

54 Man kan inte avfärda nämnda invändning med att säga att frågan om tillförlitlighet vore en ”psykologisk” fråga. Det hör till det matematiska bevisets natur att vara överskådligt. (Idén om överskådlighet spelar en stor roll i hela Wittgensteins senare filosofi.) Ett ”bevis” vars riktighet kontrolleras med tillhjälp av det presumerade resultatet är inget bevis. Man kan inte säga så här: ”I praktiken är Russells logik oduglig till att bevisa satser om stora tal. Men i teorien ha alla satser i aritmetiken ett bevis i Russells logik. Alltså kan aritmetiken härledas ur logiken.”

55 Wittgenstein vill naturligtvis inte förneka, att bevis i aritmetiken kunde ”översättas till” eller ”motsvaras av” bestämda bevis i logiken. En sådan koordinering av två bevistekniker, logikens och aritmetikens, kan vara av stort intresse. Men emedan motsvarigheten kontrolleras av den aritmetiska tekniken, så kan den inte anföras som grund för ifrågavarande tekniks egen riktighet.

56 I likhet med Brouwer fäster Wittgenstein stor vikt vid den |99|konstruktiva sidan hos matematiskt tänkande. Det är en egendomlighet hos matematiken, att den själv skapar eller konstruerar sina objekt. Talserien är en sådan konstruktion. Bakom varje utvidgning av matematiken ligger ett nyskapande moment, inte bara ett passivt avledande av följdsatser från givna axiom. För det matematiska formskapandet kunna inga gränser utstakas på förhand. Då ligger det nära till hands att fråga:

57 Vad är den matematiska sanningens kriterium? Varav får matematiken sin nödvändighet? Brouwer svarade med att hänvisa till intuitionen. Wittgenstein menar – säkerligen med rätta – att detta inte är något svar alls. (Det är gagnlöst att åberopa sig på intuition i matematiken.) Wittgenstein vill förklara den för matematikens satser och bevis utmärkande nödvändigheten med att hänvisa till språket. Matematiken fastställer, i viss mening, reglerna för vårt sätt att beskriva verkligheten. Med en om Platon påminnande ordvändning säger Wittgenstein ofta, att matematiken är måttet, det varmed man mäter, och inte det mätta. Antag, att jag räknar igenom en samling av fem och en annan av sju föremål. Sedan slår jag ihop samlingarna och räknar igenom den nya samlingen. Jag kommer till talet elva. Tvivlar jag då på att 5 plus 7 är 12? Nej; utan jag säger antingen att jag måste ha räknat fel eller att något föremål försvunnit mellan räkningarna eller att två föremål smultit samman. (Det sistnämnda kunde t.ex. lätt hända med kvicksilverkulor på ett glasunderlag.)

58 I ungefär samma bemärkelse som man inte kan sätta i fråga, om normalmetern i Paris verkligen är 1 m lång, kan man inte sätta i fråga, om 5 + 7 verkligen är 12. Det har ingen mening att mäta det mått, som man själv mäter med. Matematikens nödvändighet är ett uttryck för det meningslösa i att tvivla på den. Men liksom man kan ge mening åt frågan om normalmeterns längd, om man antar ett nytt mått, så kunna också de matematiska måttstockarna ändras i enlighet med verklighetsbeskrivningens behov. (I den moderna fysiken använder man i vissa sammanhang en algebra, där kommutationsregeln x + y = y + x inte gäller. Men detta betyder inte, att den vanliga algebran ”vederlagts”. Det betyder bara, att också en annan algebra än den vanliga har en användning.)

59 Matematikern är en uppfinnare och inte en upptäckare, är ett ord av Wittgenstein, som inpräglar sig i minnet. Wittgenstein tar avstånd från något som kunde kallas realism i logikens och matematikens filosofi. Logikens och matematikens satser ha inte sin sanningsgrund i en oberoende av människotanken förefintlig logisk-matematisk ”realitet”. Utan de äro nät av regler, som tanken bygger för sin egen artikulering i språket.

60 Men Wittgenstein tar också avstånd från det som kunde kallas logisk-matematisk nominalism eller konventionalism. Logikens och matematikens satser äro inte något som vi kommit överens om att hålla för sant. De äro över huvud inte något som vi ”hålla för sant”, utan snarare något som möjliggör försanthållanden. Håller jag en sats för sann, måste jag avvisa dess motsats, godtaga dess logiska följder, m.m. Sålunda bestämmer logiken, vad som skall kallas ett försanthållande. Därför kunna vi inte bestämma över logiken med tillhjälp av våra meningar om sant och falskt.

61 Realism och nominalism äro ställningstaganden till det som brukar kallas det ontologiska problemet. Vi skola senare få se, att detta gamla problem också på andra håll än hos Wittgenstein fått ny aktualitet i våra dagars logiskt-filosofiska debatt.